Разница между системой и совокупностью в математике

Анализ данных — основы и терминология

Разница между системой и совокупностью в математике

В этой статье я бы хотел обсудить базовые принципы построения практического проекта по (т. н. «интеллектуальному») анализу данных, а также зафиксировать необходимую терминологию, в том числе русскоязычную.

Согласно википедии,

Анализ данных — это область математики и информатики, занимающаяся построением и исследованием наиболее общих математических методов и вычислительных алгоритмов извлечения знаний из экспериментальных (в широком смысле) данных; процесс исследования, фильтрации, преобразования и моделирования данных с целью извлечения полезной информации и принятия решений. Говоря чуть более простым языком, я бы предложил понимать под анализом данных совокупность методов и приложений, связанных с алгоритмами обработки данных и не имеющих четко зафиксированного ответа на каждый входящий объект. Это будет отличать их от классических алгоритмов, например реализующих сортировку или словарь. От конкретной реализации классического алгоритма зависит время его выполнения и объем занимаемой памяти, но ожидаемый результат его применения строго зафиксирован. В противоположность этому мы ожидаем от нейросети, распознающей цифры, ответа 8 при входящей картинке, изображающей рукописную восьмерку, но не можем требовать этого результата. Более того, любая (в разумном смысле этого слова) нейросеть будет иногда ошибаться на тех или иных вариантах корректных входных данных. Будем называть такую постановку задачи и применяющиеся при ее решении методы и алгоритмы недетерминистическими (или нечеткими) в отличии от классических (детерминистических, четких).

Алгоритмы и эвристики

Описанную задачу распознавания цифр можно решать пытаясь самостоятельно подобрать функцию, реализующую соответствующее отображение. Получится, скорее всего, не очень быстро и не очень хорошо.

С другой стороны, можно прибегнуть к методам машинного обучения, то есть воспользоваться вручную размеченной выборкой (или, в других случаях, теми или иными историческими данными) для автоматического подбора решающей функции.

Таким образом, здесь и далее (обобщенным) алгоритмом машинного обучения я буду называть алгоритм, так или иначе на основе данных формирующий недетерминистический алгоритм, решающий ту или иную задачу.

(Недетерминистичность полученного алгоритма нужна для того, чтобы под определение не подпадал справочник, использующий предварительно подгруженные данные или внешний API).

Таким образом, машинное обучение является наиболее распространенным и мощным (но, тем не менее, не единственным) методом анализа данных.

К сожалению, алгоритмов машинного обучения, хорошо обрабатывающих данные более или менее произвольной природы люди пока не изобрели и поэтому специалисту приходится самостоятельно заниматься предобработкой данных для приведения их в пригодный для применения алгоритма вид.

В большинстве случаев такая предобработка называется фичеселектом (англ. feature selection) или препроцессингом. Дело в том, что большинство алгоритмов машинного обучения принимают на вход наборы чисел фиксированной длины (для математиков — точки в ).

Однако сейчас также широко используются разнообразные алгоритмы на основе нейронных сетей, которые умеют принимать на вход не только наборы чисел, но и объекты, имеющие некоторые дополнительные, главным образом геометрические, свойства, такие как изображения (алгоритм учитывает не только значения пикселей, но и их взаимное расположение), аудио, видео и тексты. Тем не менее, некоторая предобработка как правило происходит и в этих случаях, так что можно считать, что для них фичеселект заменяется подбором удачного препроцессинга.

Алгоритмом машинного обучения с учителем (в узком смысле этого слова) можно назвать алгоритм (для математиков — отображение), который берет на вход набор точек в (еще называются примерами или samples) и меток (значений, которые мы пытаемся предсказать) , а на выходе дает алгоритм (=функцию) , уже сопоставляющий конкретное значение любому входу , принадлежащему пространству примеров. Например, в случае упомянутой выше нейросети, распознающей цифры, с помощью специальной процедуры на основе обучающей выборки устанавливаются значения, соответствующие связям между нейронами, и с их помощью на этапе применения вычисляется то или иное предсказание для каждого нового примера. Кстати, совокупность примеров и меток называется обучающей выборкой.

Список эффективных алгоритмов машинного обучения с учителем (в узком смысле) строго ограничен и почти не пополняется несмотря на активные исследования в этой области. Однако для правильного применения этих алгоритмов требуется опыт и подготовка. Вопросы эффективного сведения практической задачи к задаче анализа данных, подбора списка фичей или препроцессинга, модели и ее параметров, а также грамотного внедрения непросты и сами по себе, не говоря уже о работе над ними в совокупности. Общая схема решения задачи анализа данных при использовании метода машинного обучения выглядит таким образом:

Цепочку «препроцессинг — модель машинного обучения — постпроцессинг» удобно выделять в единую сущность. Часто такая цепочка остается неизменной и лишь регулярно дообучается на новопоступивших данных.

В некоторых случаях, особенно на ранних этапах развития проекта, ее содержимое заменяется более или менее сложной эвристикой, не зависящей напрямую от данных. Бывают и более хитрые случаи.

Заведем для такой цепочки (и возможных ее вариантов) отдельный термин и будем называть мета-моделью (meta-model). В случае эвристики она редуцируется до следующей схемы:

Эвристика — это просто вручную подобранная функция, не использующая продвинутых методов, и, как правило, не дающая хорошего результата, но приемлемая в определенных случаях, например на ранних стадиях развития проекта.

Задачи машинного обучения с учителем

В зависимости от постановки, задачи машинного обучения делят на задачи классификации, регрессии и логистической регрессии. Классификация — постановка задачи при которой требуется определить, какому классу из некоторого четко заданного списка относится входящий объект.

Типичным и популярным примером является уже упоминавшееся выше распознавание цифр, в ней каждому изображению нужно сопоставить один из 10 классов, соответствующий изображенной цифре.

Регрессия — постановка задачи, при которой требуется предсказать некоторую количественную характеристику объекта, например цену или возраст. Логистическая регрессия сочетает свойства перечисленных выше двух постановок задач.

В ней задаются совершившиеся события на объектах, а требуется предсказать их вероятности на новых объектах. Типичным примером такой задачи является задача предсказания вероятности перехода пользователя по рекомендательной ссылке или рекламному объявлению.

Выбор метрики и валидационная процедура

Метрика качества предсказания (нечеткого) алгоритма — это способ оценить качество его работы, сравнить результат его применения с действительным ответом. Более математично — это функция, берущая на вход список предсказаний и список случившихся ответов , а возвращающая число соответствующее качеству предсказания.

Например в случае задачи классификации самым простым и популярным вариантом является количество несовпадений , а в случае задачи регрессии — среднеквадратичное отклонение . Однако в ряде случаев из практических соображений необходимо использовать менее стандартные метрики качества.

Прежде чем внедрять алгоритм в работающий и взаимодействующий с реальными пользователями продукт (или передавать его заказчику), хорошо бы оценить, насколько хорошо этот алгоритм работает. Для этого используется следующий механизм, называемый валидационной процедурой.

Имеющаяся в распоряжении размеченная выборка разделяется на две части — обучающую и валидационную. Обучение алгоритма происходит на обучающей выборке, а оценка его качества (или валидация) — на валидационной.

В том случае, если мы пока не используем алгоритм машинного обучения, а подбираем эвристику, можно считать, что вся размеченная выборка, на которой мы оцениваем качество работы алгоритма является валидационной, а обучающая выборка пуста — состоит из 0 элементов.

Типичный цикл развития проекта

В самых общих чертах цикл развития проекта по анализу данных выглядит следующим образом.

  1. Изучение постановки задачи, возможных источников данных.
  2. Переформулировка на математическом языке, выбор метрик качества предсказания.

  3. Написание пайплайна для обучения и (хотя бы тестового) использования в реальном окружении.
  4. Написание решающей задачу эвристики или несложного алгоритма машинного обучения.

  5. По необходимости улучшение качества работы алгоритма, возможно уточнение метрик, привлечение дополнительных данных.

Заключение

На этом пока все, следующий раз мы обсудим какие конкретно алгоритмы применяются для решения задач классификации, регрессии и логистической регрессии, а о том, как сделать базовое исследование задачи и подготовить его результат для использования прикладным программистом уже можно почитать здесь.

P.S.

В соседнем топике я немножко поспорил с людьми, придерживающимися более академичной точки зрения на вопросы машинного обучения, чем моя. Что несколько негативно сказалось на моей хаброкарме.

Так что если вы хотели бы ускорить появление следующей статьи и обладаете соответствующими полномочиями — поплюсуйте меня немножко, это поможет мне написать и выложить продолжение более оперативно. Спасибо.

  • machine learning
  • data science
  • algorithms

Совокупности уравнений, неравенств, систем: что это такое, как решить

Разница между системой и совокупностью в математике

Тема совокупностей уравнений и др. систем, как правило, в рамках школьного курса представлена скупо. В 10-11 классе она изучается совсем недолго. Мы считаем, что это неверный подход, поскольку совокупности – прекрасный способ оформления привычных решений при работе с неравенствами и уравнениями, поэтому в рамках статьи мы раскроем этот вопрос.

В данной статье мы сформулируем общее понятие совокупностей неравенств, уравнений и их систем, а также их комбинации. Кроме определений здесь, как обычно, есть решения задач, наглядно поясняющие тот или иной фрагмент текста.

Понятие совокупности

Для того, чтобы хорошо понимать, что такое совокупность уравнений, нужно вспомнить еще одно понятие из школьного курса алгебры – система уравнений (аналогично неравенствам). Тогда определения совокупности покажутся вам знакомыми и легко усвоятся.

Проанализировав несколько учебников, выберем наиболее удачное определение:

Определение 1

Совокупность уравнений представляет собой несколько уравнений, записанных друг под другом и объединенных квадратной скобкой. Значение этой записи таково: совокупность объединяет такие значения переменных, при которых хотя бы одно из входящих в нее уравнений превращается в верное равенство.

Сравним между собой понятие совокупности и понятие системы:

  1.  Запись совокупности, как мы уже говорили выше, осуществляется с помощью квадратной скобки, а системы записываются с фигурной.
  2. Совокупность включает в себя множество решений, которые относятся хотя бы одному из уравнений, входящих в ее состав. Система объединяет решения, которые подходят для каждого уравнения.

Пример 1

Вот примеры совокупности уравнений:

x+1=0,x2-1=-8  x+y2+z4=0,x·y·z=0,z=5

Иногда при записи совокупности можно обойтись и без квадратной скобки: так часто делают в школе. В таком случае уравнения можно просто указать через запятую. Для примера выше это может быть запись вида x+y2+z4=0, x·y·z=0, z=5.

Понятие совокупности неравенств формулируется схожим образом.

Определение 2

Совокупность неравенств представляет собой несколько неравенств, записанных друг под другом и объединенных квадратной скобкой. Она включает в себя решения, которые подходят хотя бы для одного из неравенств, входящих в состав совокупности.

Пример 2

Приведем пример такой записи:

x+3>0,2·x+3≤0,5

Схожее определение для этого понятия упоминается в учебнике Мордковича.

Если необходимо, то можно указать, сколько уравнений (неравенств) входят в состав совокупности, а также сколько в ней участвует переменных. Вид уравнения (неравенства) также может быть внесен в запись при необходимости. Сформулируем название совокупности из примера: это совокупность 2-х неравенств с одной переменной, а ее составные части – это целые рациональные первой степени.

Сочетать в рамках одной совокупности можно не только записи одного вида.

Так, имеет право на существование совокупность, состоящая из двух неравенств и одного уравнения, сочетание одного неравенства с системой уравнений, двух систем неравенств и др.

задача – сохранить неизменным основной смысл совокупности: в нее входят такие решения, которые подходят хотя бы для одной составляющей совокупности.

Пример 3

В качестве примера смешанных совокупностей приведем две:

x>3×0

Что такое решение совокупности

Решение – главная составляющая совокупности. Сформулируем, что же такое решения совокупности с разным количеством переменных.

Определение 3

Решение совокупности с одной переменной представляет собой значение этой переменной, которое является решением хотя бы одной составляющей совокупности (уравнения, неравенства).

Если мы возьмем совокупность уравнений, значит, его решение – это значение x, при котором хотя бы одно из уравнений, входящих в состав совокупности, обращается в верное равенство.

Пример 4

Возьмем неравенство x>1,x2≥4·x+2. Для него решением, например, будет тройка, т.к. она больше единицы, и, следовательно, она – верное решение для первого неравенства. А если мы возьмем ноль, то увидим, что ни к одному из неравенств он не подходит; значит, 0 в качестве решения совокупности мы рассматривать не можем , ведь запись вида 0>1иx2≥4·x+2 неверна.

Определение 4

Решение совокупности, в которую входит две, три и более переменных, – это две, три и более переменных, которые подходят в качестве решения хотя бы одному компоненту совокупности.

Пример 5

Возьмем еще один пример, посложнее. У нас есть совокупность:

x2+y2=4,x+y>0,x≥3

Значения 3 и 0 будут верными решениями совокупности: они подходят в качестве верных значений в уравнения 2 и 3(3+0>0и 3≥3 – верно). А вот значения 2 и 1 не есть решение совокупности: ни к 1, ни ко 2, ни к 3 они не подойдут.

В некоторых учебниках можно встретить также понятия общего и частного решения совокупности; под частным при этом понимается одно решение, а под общим – их некое множество. Но более употребительно понятие просто решения совокупности, а о том, общее оно или частное, можно понять из контекста.

Также нужно отметить следующее: объединение решений всех компонентов совокупности также есть решение совокупности. Напомним, что решение системы представляет собой пересечение решений ее компонентов.

В продолжение темы мы советуем вам материал “Равносильные совокупности”.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Как репетитор по математике оформляет объединение систем

Разница между системой и совокупностью в математике

Системы уравнений и неравенств входили в состав выпускных и вступительных экзаменов по математике во все времена. Даже если в экзаменационном варианте нет прямого задания на решение системы, то существует достаточно высокая вероятность ее появления процессе решения других задач.

Репетитор по математике обязан это учитывать. Привести к системам могут задачи на модули, на логарифмы, на графики и даже на синусы с косинусы.

Несмотря на то, что подготовка к ЕГЭ по математике нередко сводится к натаскиванию на решение однотипных номеров части «В», не стоит полностью отказываться от тренировки навыков поиска пересечения (объединения) ответов разных объектов. Хотя бы на элементарном уровне.

Какими приемами репетитор по математике обеспечивает оптимальную работу ученика с системами? Какая техника оформления систем была бы самой удобной и продуктивной?

К сожалению, школьные учителя и даже некоторые профессиональные репетиторы требуют от детей (уже в 8 классе) оформление систем по принципу «все в одном», упаковывая содержащиеся в них неравенства в единый объект согласно строгим правилам проведения равносильных преобразований. Широко применяются квадратные и фигурные скобки, причем часто в весьма сложном сочетании.

Мой опыт репетиторской работы свидетельствует о том, что дети с огромнейшим трудом воспринимают, казалось бы, несложные для математиков логические конструкции с конъюнкциями и дизъюнкциями. Примерно 60-70% всех школьников с трудом припоминают (или не знают вообще) чем отличается квадратная скобка от линейной.

А среди тех, кто приходит к репетитору по математике, этот процент повышается в среднем до 90-95%.

Но, тем не менее, для обозначения объединения, некоторые школьные преподаватели все равно используют квадратные скобки. Видимо по привычке.

При таком раскладе репетитор по математике оказывается в крайне сложном положении, ибо уровень ученика часто не позволяет осознать сложные логические сочетания. Я не сторонник любой ценой следовать школьным стандартам и часто полностью отказываюсь от постановки квадратных скобок. Без них проще.

Особенно когда на носу подготовка к ЕГЭ. Если все же репетитор математики вынужден принимать школьные правила, он мог бы это сделать следующим образом:

Когда репетитор по математике вводит квадратную скобку?

К пониманию разницы между скобками лучше всего подводить ученика постепенно, начиная с 8 класса, когда изучается тема «неравенства». В решении самих неравенств восьмиклассники используют понятие «пересечение ответов» .

Почему бы репетитору по математике не показать что такое «объединение ответов»? Задачи на объединение присутствуют в учебнике Макарычева, но они ограничиваются операцияями с уже сформированными промежутками. Это не совсем то, что нужно.

Вот пример, на котором репетитор по математике мог бы объяснить назначение квадратной скобки:

Как видите, используется самое простое сочетание. Скобку лучше всего ввести после того, как ученик поймет суть задания. А она заключается в том, чтобы подобрать числа, обеспечивающие выполнение хотя бы одного неравенства (я употребляю общий термин: «условие»).

Фразу «хотя бы одного» репетитор по математике сразу же меняет на фразу «или одно или другое». Процент учеников, правильно нашедших репетитору ответ, оказывается не таким и уж низким. Половина детей схватывают суть задания сразу же.

Другим нужно показывать, как проверяется наугад взятое число (главное не объяснять только словами).

Данный номер рассматривается репетитором сразу после примера на совокупность, то есть на поиск числа, обеспечивающего выполнение каждого условия:

К сожалению, родители редко приглашают репетитора по математике в 8 классе и подготовкой к ЕГЭ занимаются только с 10 или с 11 класса.

В этом случае репетитору приходится объяснять оформление объединения по формальному признаку фигурной скобки: если для проверки произвольно взятого числа достаточно проверить верность одного из нескольких условий (неравенств, уравнений или их систем), то проверяемые объекты можно заключить в квадратную скобку. Корректируя общую формулировку, репетитор по математике вставляет в нее союз «или». Например, для того, чтобы число x было корнем уравнения необходимо чтобы или первый множитель равнялся нулю, или второй. Преподаватель отдельно акцентирует внимание ученика на участии «или» и в случае его уместного употребления разрешает заключить объекты в квадратную скобку.

Если репетитор математики примет строгое оформление, он усложнит ученику одновременно и понимание и практическую работу. Школьные учителя берут за образец оформление систем в задачниках, в которых решения излагаются кратко.

Из-за пропусков некоторых его частей удается компактно расписать все равносильные переходы, сохраняя целостность объекта. Репетитору по математике данная методика не подходит категорически.

Почему? Ученики начинают вырывать по отдельности неравенства из огромной системы через весьма приличные промежутки времени. Переключение внимания на частные операции сбивает школьников с главного направления. Они забывают что именно им надо пересекать, а что объединять. Путаница возникает страшная.

Хорошо, если репетитор по математике рядом и сможет подсказать. А что делать на ЕГЭ? Вряд ли стоит рисковать. Техника действий должна быть максимально прозрачной и удобной в практическом смысле.

Принимая квадратную скобку, репетитор по математике усложняет еще и сортировку решенного. Приходится оформлять отдельные неравенства в колонку (одно под другим) и запоминать какое именно решено, а какое еще нет. Если сами решения длинные, то ученику может не хватить страницы и придется ее переворачивать. Рассеивание внимания при этом гарантировано.

Может ли репетитор по математике обойтись без квадратной скобки

?

Да, вполне. Для этого применяются стрелочный эквивалент. Например:

Чаще всего в объединение попадают две системы (если больше — лучше использовать иные методы изначально). В нашем случае одна из систем решается в левой части тетрадного листа, а другая в правой.

Репетитор по математике разделяет квадратную скобку на две совокупности отдельных систем. На мой взгляд, это самая удобная форма для практической работы ученика.

Почему? Те ответы, которые нужно пересечь, распределены по колонкам, при этом операции в левой и в правой колонке проводятся локально и не перемешиваются. Слева — свое пересечение, справа — свое. Очень удобно. Под каждой системой – решение.

Системы не нужно вырывать из «квадратной скобки», не нужно переписывать. Финальные ответы, которые репетитор по математике и ученик получают слева и справа «сваливаются в общий ответ» без какой-либо коррекции и пересечения.

Исключение составляют случаи, когда промежутки имеют общую часть. Однако практика показывает, что даже если репетитор по математике забудет напомнить о «склеивании частей», то большинство учеников догадаются до него сами.

Преимущество стрелок для запоминания:
Когда ученик разделяет тетрадный лист на две части, то находясь на любом этапе решения по левой колонке, он помнит о том, что предстоит еще заполнить и правую часть. Это очень важно. Если вы репетитр, то наверняка знаете, что школьники часто забывают разобрать какой-нибуь случай или решить какое-нибдуь неравенство из системы.

Сложность работы с объединением и пересечением носит часто чисто технический характер и связана с проблемой механики решений, то есть запоминанием и сортировкой обрабатываемой информации. При подготовке к ЕГЭ по математике важно получить навык автоматического выполнения операций.

Поэтому репетитору по математике крайне необходимо использовать в работе простые и удобные методы, каким является прием стрелочного разделения. Если потребуется объединить три или более системы, репетитор по математике может взять лист формата А4, развернуть его в длину и аккуратно решить задание распределяя системы по нескольким колонкам.

Такой подход к оформлению позволит ученику четко разделить и запомнить логическую структуру объекта.

Репетитор по математике, Колпаков А.Н. Москва.

В чем разница между совокупностью и системой

Разница между системой и совокупностью в математике

Встречаются понятия, которые можно спутать между собой, не разобравшись. Например, система и совокупность. А между тем, эти явления регулярно встречаются в повседневной жизни. Вот почему важно понять, чем же они отличаются и чем между собой схожи.

Что такое совокупность

Совокупностью является любое скопление каких-либо более-менее однородных объектов в пространстве. Но в более узком смысле – это неупорядоченное скопление. Необязательно речь может идти о вещах. Например, это может быть совокупность слов на странице и даже совокупность смыслов в произведении. Но для примера лучше что-то более наглядное.

Если в одном цехе разместить все детали, из которых можно собрать автомобиль, это и будет совокупностью в самом точном смысле. Ведь эти детали не взаимодействуют между собой технически, в данный момент. Их объединяет лишь то, что из них можно собрать конкретную машину.

В математике: используется в уравнениях. Совокупность в этом случае – выбор результатов решений, подходящих хотя бы для одного уравнения. Чтоб решить совокупность, требуется объединить решения каждого уравнения.

Система

В широком смысле система тоже может быть совокупностью. Ведь в ней зачастую также присутствует скопление в пространстве иногда более-менее однородных объектов. Однако в самом точном смысле, система принципиально отличается от совокупности. Они даже противоположны.

Если совокупность – это неупорядоченное скопление, то система всегда упорядочена. То есть, система – это упорядоченное скопление нескольких элементов. Между последними существует взаимосвязь, иерархическая или параллельная (равноценная). Кто-то бы называл систему – упорядоченной совокупностью, но это может несколько путать.

В математике: как и совокупность, применяется в уравнениях. Система в этом случае – выбор результатов решений, подходящих всем уравнениям. Цель в этом случае – пересечение результатов решений.

Что объединяет совокупность и систему

Оба явления подразумевают, что есть какое-то число объектов, которые так или иначе возможно объединить по смыслу. Система или совокупность невозможны из одного объекта или элемента.

Если только такой объект нельзя подразделить на более мелкие. В таком случае, конечно, один большой объект может рассматриваться как совокупность или система из более мелких, составляющих его.

Например, кусок льда – совокупность молекул воды в твердом агрегатном состоянии.

Систему возможно назвать совокупностью, если элементы в ней более-менее однородны. Хотя бы в каком-то смысле. Тогда в этом смысле и будет возможно назвать систему совокупностью. Что так же объединяет эти два понятия и явления.

Очень часто из совокупности возникает система, и наоборот. Например, когда из деталей собирают автомобиль, возникает система. Напротив, когда машину разбирают, из модели в пространстве, где все упорядочено, возникает совокупность запчастей. Так что частая взаимная трансформация, пожалуй, также объединяет два явления.

Вот каков итог:

  • И совокупность, и система всегда состоят из нескольких объектов.
  • Систему иногда возможно назвать совокупностью в широком смысле.
  • Система и совокупность часто трансформируются друг в друга.

В математике: И при совокупности, и при системе, требуется несколько уравнений, для исходных данных. Оба метода позволяют добиться конечной цели – решения уравнения. На этом их сходства заканчиваются.

В чем разница

Несмотря на сходства, присутствуют и различия. И главное в том, что совокупность в узком, точном смысле никогда не имеет упорядоченности, а система – имеет всегда.

Например, песчинки в пустыне, если рассматривать их сами по себе, представляют собой совокупность.

Но сама пустыня – это система, в которой песок – один из элементов и находится во взаимосвязи со всеми остальными элементами.

Система может состоять из разнородных объектов. И единственным, что иногда объединяет по смыслу ее элименты, может быть факт того, что это все части одной системы. Примером этого служит системный блок персонального компьютера.

Если не брать в расчет, что все это комплектующие ПК, результат наукоемких отраслей электроники, выполнены часто из схожих материалов, а сравнить их исключительно по функционалу, получится: Каждый элемент выполняет свою специфическую задачу и принцип его работы (в большинстве случаев) принципиально отличается от других. Пример, конечно, не идеален. Ведь все компоненты компьютера работают за счет потока электронов. Но в природе почти нет идеальных примеров, только относительные. По крайней мере, ясна суть.

Есть еще одно различие между совокупностью и системой. Если совокупность существует в узком смысле и широком, соответственно как неупорядоченное скопление и любое скопление, то с термином «система» такого нет. Это всегда в первую очередь упорядоченное скопление, иными словами – модель.

Если подытожить, разница между совокупностью и системой такова:

  1. Система всегда упорядочена, совокупность – не всегда.
  2. Система может состоять из ничем не схожих объектов.
  3. Понятие «система» более конкретное и узкое.

В математике: чтобы решить совокупность, требуется объединить результаты каждого решения. Чтобы решить систему, требуется произвести пересечение результатов решений. Иногда удобнее одно, иногда другое. Но при работе с большими данными, пожалуй, лучше подойдет система. Быстрее и эффективнее.

В заключение, стоит отметить, что совокупность и система во многом схожи. Но и отличия принципиальные. Вот почему это два качественно разных понятия и явления. И если их путать, это приведет к неверным выводам и в математике, и в философии, и в бытовых вопросах.

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.