Разница между шаром и сферой

Чем отличается сфера от шара. Разница между шаром и сферой

Когда людям задают вопрос, чем отличается сфер от шара, многие попросту пожимают плечами, думая, что фактически это одно и то же (аналогия с кругом и окружностью).

Действительно, все ли из нас хорошо знают из школьной программы геометрию и могут сходу ответить на данный вопрос? Сфера имеет некоторые отличия от шара, которые нужно знать не только школьникам, чтобы получить хорошую оценку за свои продемонстрированные знания, но и многим другим людям, например, чья работа непосредственно связана с чертежами.

Определение

Шар – совокупность всех точек пространства. Все эти точки находятся от центра геометрического тела на расстоянии, которое не больше заданного. Само данное расстояние называется радиусом.

Шар, как геометрическое тело, образуется следующим образом: происходит вращение полукруга возле его диаметра. Что касается сферы, то это и есть поверхность шара (например, замкнутый шар включает ее, открытый – нет).

Вычисление площади или объема шара – это целые геометрические формулы, которые очень сложны, несмотря на кажущуюся простоту самой геометрической фигуры.

Сфера, как было отмечено выше, представляет собой поверхность шара, его оболочку. От центра сферы все точки в пространстве равноудалены. Что касается радиуса геометрического тела, то им называют любой отрезок, одна точка которого – непосредственно центр сферы, а другая может находиться в любой точке на поверхности.

Можно сказать, что сфера является оболочкой шара без какого-либо содержимого (более конкретные примеры будут приведены ниже). Также как и шар, сфера является телом вращения. Кстати, многие также задаются вопросом, чем же отличаются круг и окружность от сферы и шара.

Здесь все просто: в первом случае это фигуры на плоскости, во втором – в пространстве.

Сравнение

Уже было сказано о том, что сфера является поверхностью шара, что уже дает возможность говорить об одном весомом признаке отличия. Разница между двумя геометрическими телами наблюдается и в некоторых других аспектах:

Все точки шара находятся на одинаковом расстоянии от центра, при этом тело ограничено поверхностью (сферой, которая является пустой внутри). Иными словами, сфера полая. Обычно для простоты понимания приводят простой пример с воздушным и бильярдным шаром. Оба этих предмета называют шарами, однако в первом случае мы имеем дело со сферой, а во втором с полноценным шаром со своим содержимым внутри.
Сфера имеет свою площадь, но при этом у нее нет объема. Шар же наоборот: его объем можно вычислить, в то время как у него нет площади. Кто-то может сказать, что это главный признак отличия, но он проявляется только в том случае, если необходимо производить какие-то расчеты (сложные геометрические формулы). Поэтому главным отличием является то, что сфера полая, а шар – тело с содержимым внутри.
Еще одно отличие кроется в радиусе. Например, радиусом сферы называется не только расстояние точек до центра. Радиусом может называться любой отрезок, соединяющий точку на сфере с ее центром. Все эти отрезки равны между собой. Что касается шара, то лежащие внутри него точки удалены от центра меньше, чем на радиус (как раз из-за ограничивающей его сферы).

Выводы сайт

Сфера полая, в то время как шар является заполненным внутри телом. Например, воздушный шар – это сфера, бильярдный шар – это полноценный шар.
Сфера имеет площадь и не имеет объем, шар же наоборот.
Третье отличие – это измерение радиуса двух геометрических тел.

другие презентации о сфере

«Задачи на шар и сферу» – Установите соответствие. Устный тест: «Тела вращения». Площадь сферы. Цилиндр, осевым сечением которого является квадрат, вписан в один шар. Шар вписан в цилиндр. Решение задач по готовым чертежам. Цели и задачи. Шар и сфера. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60 градусов. Конус. Работа у доски.

«Определение сферы и шара» – Планеты имеют форму шара. Точка. Каменное полушарие. Шаровой сектор. Обратная теорема. Определение сферы. Слово «сфера». Сфера. Найдите координаты центра и радиуса сферы. Закрепляем. Сечение шара плоскостью. Сечение шара. Шар и глобус. Площадь сечения сферы. Решите задачу. Символ будущего. Радиус сферы.

«Касательная плоскость к сфере» – Касательная плоскость к сфере. В отличие от боковой поверхности конуса или цилиндра, сферу невозможно развернуть на плоскость. Взаимное расположение прямой и плоскости. Сфера и шар. Площадь сферы. Касательная плоскость к сфере обладает свойством, аналогичным свойству касательной к окружности. Уравнение сферы.

«Шар» – В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар. Итоги использования метода исследовательской деятельности учащихся по математике. Организация исследовательской деятельности учащихся во внеурочное время. Исследова-тельская практика, процесс работы над темой. Три уровня самостоятельной деятельности: репродуктивный (тренировочный); реконструктивный; творческий (поисковый).

«Поверхность сферы» – Ты готов ответить на вопросы? Уран. Венера. Шар и сфера. Энциклопедия. Марс. Шар ли на рисунке? Мяч – шар? Немного из истории. Атмосфера. Мы болеем за нашу школьную команду по бейсболу. Сатурн. Земля. Решил я провести небольшое исследование…….

«Геометрия Сфера и шар» – Узнали, о применении знаний о вписанных шарах. 1) Введем для удобства угол, а между высотой и образующей конуса. Настоящий расцвет Геометрии в Греции начинается с Платона (430-347). Вывод: Известно несколько теорий по поводу отношений между параметрами пирамид. Найдем для высоты, радиуса основания и образующей конуса выражения.

Сфера и шар

Слово «сфера» произошло от греческого слова «сфайра», которое переводится на русский язык как «мяч».

ШАР-символ будущего.

Символ шара-глобальность шара Земли. Символ будущего, он отличается от креста тем, что последний олицетворяет собой страдание и человеческую смерть.В Древнем Египте впервые пришли к заключению, что земля шарообразна. Это предположение послужило основой для многочисленных размышлений о бессмертии земли и возможности бессмертия населяющих ее живых организмах.

Человек, держащий шарв руках,символизирует субъекта,несущего тяготы мираНе случайно подобнымискульптурами украшены некоторыевокзалы Западной Европы,например в Хельсинки:здесь запечатлены тяготы, выпадающие на плечипутешественника.

Таким образом, шар и глобус – это знаки промысла, проведения, вечности, власти и могущество коронованных особ

Каменное полушарие сферы воплощается в религиозных храмах – куполах православных церквей в России; ступах, связанных с местом пребывания бодхисаттв в Индии. В Индонезии ступы приобрели форму колокола с каменным шпилем наверху и называются дагобы.

В греко-римской мифологии шар символизировал удачу, судьбу, ассоциируясь с Тихэ (Фортуной), стоящей на шаре. Знаменитая картина Пикассо «Девочка на шаре» – танцующая Фортуна.

Форма шара в природеМногие ягоды имеют форму шара.

Планеты имеют форму шара.

Некоторые деревья имеют сферическую форму.

Определение сферыСферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки

Сфера –это поверхность, полученная вращением полуокружности вокруг диаметра

Данная точка (О) называется центром сферы.Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, называется радиусом сферы (R-радиус сферы).Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр, называется диаметром сферы. Очевидно, что диаметр сферы равен 2R.

Определение шараШар – это тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки (или фигура, ограниченная сферой). Тело, ограниченное сферой, называется шаром.Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара.

Шаровой сегментШаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой – нибудь плоскостью.

Шаровой слойШаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями.

Шаровой секторШаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора с углом, меньшим 900, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов.

Плоскость,проходящая через центр шара,называется диаметральной плоскостью.Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом,а сечение сферы – большой окружностью.Сечение шара

ЗакрепляемРешите задачу № 573, №574 (а)

Уравнение сферы в прямоугольной системе координатM(x;y;z)-произвольная точка, принадлежащая сфере./MC/= v(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2т.к. MC=R, то (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2

Задание1.Найдите координаты центра и радиуса сферы, заданной уравнением:x?+y?+z?=49(X-3)?+(y+2)?+z?=22. Напишите уравнение сферы радиуса R с центром А, если A(2;-4;7) R=3 A(0;0;0) R=v2 A(2;0;0) R=43. Решите задачу №577(а)

Взаимное расположение сферы и плоскостиОбозначим радиус сферы буквой R, а расстояние от ее центра до плоскости?-буквой d.Введем систему координат так, чтобы плоскость Oxy совпадала с плоскостью?, а центр С сферы лежал на положительной полуоси Oz.

В этой системе координат точка C (о;о;d), поэтому сфера имеет уравнение x2+y2+(z-d)2=R? Плоскость совпадает с координатной плоскостью Oxy, и поэтому ее уравнение имеет вид z=0

Таким образом вопрос о взаимном расположении сферы и плоскости сводится к исследованию системы уравнений.Подставив z=0 во второе уравнение, получим x?+y?=R?-d?Возможны 3 случая:

x?+y?=R?-d? Если d>R, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

x?+y?=R?-d?Если d=R, то сфера и плоскость именуют только одну общую точку. В этом случае? называют касательной плоскостью к сфере

x?+y?=R?-d?Если d

ЗакрепляемРешите задачу №580, №581

Касательная плоскость к сфереПлоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере,а их общая точка называется точкой касания А плоскости и сферы.

Теорема:Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.Доказательство: Рассмотрим плоскость?, касающуюся сферы с центром О в точке А. Докажем, что ОА перпендикулярен?. Предположим, что это не так.

Тогда радиус ОА является наклонной к плоскости?, и, следовательно расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы. Поэтому сфера и плоскость пересекаются по окружности. Это противоречит тому, что-касательная, т.е. сфера и плоскость имеют только одну общую точку.

Полученное противоречие доказывает, что ОА перпендикулярен?.

Обратная теорема:Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

ЗакрепляемРешите задачу № 592

Площадь сферыСферу нельзя развернуть на плоскость!Описанным около сферы многогранником называется многогранник, всех граней которого которого касается сфера.Сфера называется вписанной в многогранник

Задание: Площадь сечения сферы, проходящего через её центр, равна 9м2. Найдите площадь сферы.Решение:Сечение, проходящее через центр сферы есть окружность. Sсеч =?r2, 9= ?R2, R=v9/? . Sсферы=4 ?r2 , Sсферы=4? · 9/? =36м2

Сфера и ее свойства. Разница между шаром и сферой

Разница между шаром и сферой

Определение.

Сфера (поверхность шара) – это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, которые находятся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром сферы (О).

Сферу можно описать, как объёмную фигуру, которая образуется вращением окружности вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.

Определение.

Шар – это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, расстояние от которых не превышает определенного расстояния до точки, называемой центром шара (О) (совокупность всех точек трехмерного пространства ограниченных сферой).

Шар можно описать как объёмную фигуру, которая образуется вращением круга вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.

Определение. Радиус сферы (шара) (R) – это расстояние от центра сферы (шара) O к любой точке сферы (поверхности шара).

Определение. Диаметр сферы (шара) (D) – это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара) и проходящий через ее центр.

Формула. Объём шара:

V =	4	πR 3 =	1	πD 3
3	6

Формула. Площадь поверхности сферы через радиус или диаметр:

S = 4πR 2 = πD 2

Уравнение сферы

1. Уравнение сферы с радиусом R и центром в начале декартовой системе координат:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Уравнение сферы с радиусом R и центром в точке с координатами (x 0 , y 0 , z 0) в декартовой системе координат:

(x – x 0) 2 + (y – y 0) 2 + (z – z 0) 2 = R 2

Определение. Диаметрально противоположными точками называются любые две точки на поверхности шара (сфере), которые соединены диаметром.

Основные свойства сферы и шара

1. Все точки сферы одинаково удалены от центра.

2. Любое сечение сферы плоскостью является окружностью.

3. Любое сечение шара плоскостью есть кругом.

4. Сфера имеет наибольший объём среди всех пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности.

5. Через любые две диаметрально противоположные точки можно провести множество больших окружностей для сферы или кругов для шара.

6. Через любые две точки, кроме диаметрально противоположных точек, можно провести только одну большую окружность для сферы или большой круг для шара.

7. Любые два больших круга одного шара пересекаются по прямой, проходящей через центр шара, а окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.

8. Если расстояние между центрами любых двух шаров меньше суммы их радиусов и больше модуля разности их радиусов, то такие шары пересекаются, а в плоскости пересечения образуется круг.

Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства

Определение. Секущая сферы – это прямая, которая пересекает сферу в двух точках. Точки пересечения называются точками протыкания поверхности или точками входа и выхода на поверхности.

Определение. Хорда сферы (шара) – это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара).

Определение. Секущая плоскость – это плоскость, которая пересекает сферу.

Определение. Диаметральная плоскость – это секущая плоскость, проходящая через центр сферы или шара, сеченме образует соответственно большую окружность и большой круг. Большая окружность и большой круг имеют центр, который совпадают с центром сферы (шара).

Любая хорда, проходящая через центр сферы (шара) является диаметром.

Хорда является отрезком секущей прямой.

Расстояние d от центра сферы до секущей всегда меньше чем радиус сферы:

d < R

Расстояние m между секущей плоскостью и центром сферы всегда меньше радиуса R:

m < R

Местом сечения секущей плоскости на сфере всегда будет малая окружность, а на шаре местом сечения будет малый круг. Малая окружность и малый круг имеют свои центры, не совпадающих с центром сферы (шара). Радиус r такого круга можно найти по формуле:

r = √R 2 – m 2,

Где R – радиус сферы (шара), m – расстояние от центра шара до секущей плоскости.

Определение. Полусфера (полушар) – это половина сферы (шара), которая образуется при ее сечении диаметральной плоскостью.

Касательная, касательная плоскость к сфере и их свойства

Определение.Касательная к сфере – это прямая, которая касается сферы только в одной точке.

Определение.Касательная плоскость к сфере – это плоскость, которая соприкасается со сферой только в одной точке.

Касательная пряма (плоскость) всегда перпендикулярна радиусу сферы проведенному к точке соприкосновения

Расстояние от центра сферы до касательной прямой (плоскости) равно радиусу сферы.

Определение. Сегмент шара – это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью. Основой сегмента называют круг, который образовался в месте сечения. Высотой сегмента h называют длину перпендикуляра проведенного с середины основы сегмента к поверхности сегмента.

Формула. Площадь внешней поверхности сегмента сферы с высотой h через радиус сферы R:

S = 2πRh

Шар – это тело, состоящее из всех точек пространства, которые находятся на расстоянии, не большем данного от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние – радиусом шара. Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой.

Точками сферы являются все точки шара, которые удалены от центра на расстояние, равное радиусу. Любой отрезок, который соединяет центр шара с точкой шаровой поверхности, тоже называется радиусом. Проходящий через центр шара отрезок, который соединяет две точки шаровой поверхности, называется диаметром.

Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.

Шар является телом вращения, так же как конус и цилиндр. Шар получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси.

Площадь поверхности шара можно найти по формулам:

где r – радиус шара, d – диаметр шара.

Объём шара находится по формуле:

V = 4 / 3 πr 3 ,

где r – радиус шара.

Теорема. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Исходя из данной теоремы, если шар с центром O и радиусом R пересечён плоскостью α, то в сечении получается круг радиуса r с центром K. Радиус сечения шара плоскостью можно найти по формуле

Из формулы видно, что плоскости, равноудалённые от центра, пересекают шар по равным кругам. Радиус сечения тем больше, чем ближе секущая плоскости к центру шара, то есть чем меньше расстояние ОК. Наибольший радиус имеет сечение плоскостью, проходящей через центр шара. Радиус этого круга равен радиусу шара.

Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью, называется большим кругом, а сечение сферы – большим кругом, а сечение сферы – большой окружностью.

Теорема. Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.

Плоскость, которая и проходит через точку А шаровой поверхности и перпендикулярна радиусу, проведённому в точку А, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой касания.

Теорема. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку – точку касания.

Прямая, которая проходит через точку А шаровой поверхности перпендикулярно к радиусу, проведённому в эту точку, называется касательной.

Теорема. Через любую точку шаровой поверхности проходит бесконечно много касательных, причём все они лежат в касательной плоскости шара.

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Круг ABC – основание шарового сегмента. Отрезок MN перпендикуляра, проведенного из центра N круга ABC до пересечения со сферической поверхностью, – высота шарового сегмента. Точка M – вершина шарового сегмента.

Площадь поверхности шарового сегмента можно вычислить по формуле:

Объём шарового сегмента можно найти по формуле:

V = πh 2 (R – 1/3h),

где R – радиус большого круга, h – высота шарового сегмента.

Шаровой сектор получается из шарового сегмента и конуса, следующим образом. Если шаровой сегмент меньше полушара, то шаровой сегмент дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основанием является основание сегмента. Если же сегмент больше полушара, то указанный конус из него удаляется.

Шаровой сектор – это часть шара, ограниченная кривой поверхностью сферического сегмента (на нашем рисунке – это AMCB) и конической поверхностью (на рисунке – это OABC), основанием которой служит основание сегмента (ABC), а вершиной – центр шара O.

Объем шарового сектора находится по формуле:

V = 2/3 πR 2 H.

Шаровый слой – это часть шара, заключённая между двумя параллельными плоскостями (на рисунке плоскостями ABC и DEF), пересекающими сферическую поверхность. Кривая поверхность шарового слоя называется шаровым поясом (зоной). Круги ABC и DEF – основания шарового пояса. Расстояние NK между основаниями шарового пояса – его высота.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Круг и сфера 2020

Разница между шаром и сферой

Земля, на которой мы живем, может напоминать нам о круге, хотя и не совсем идеальном, и его «область, на которой находится человеческая популяция, в этом случае может быть отождествлена с сферой.

Поэтому геометрия кругов и сфер имеет широкое применение во всех областях науки, начиная, например, в географии, геологии и геодезии.

Сферические формы действительно можно найти в разных местах природы, и из-за человеческого любопытства необходимо их описание.

Круговая линия представляет собой набор точек в плоскости с тем свойством, что все точки этой линии находятся на равном расстоянии r неподвижной точки этой плоскости, называемой центром круговой линии.

Каждая линия, соединяющая центр с некоторой точкой круговой линии, называется радиусом, а число г – длиной радиуса этой круговой линии. В литературе термин круг, вероятно, чаще всего используется. Круг является частным случаем эллипса.

Эллипс можно определить как геометрическую фигуру точек в плоскости с постоянной суммой расстояний между двумя неподвижными точками. В случае круга эти две точки (центр и фокус) одинаковы. Известно, что каждый круг имеет уникальный набор из трех точек, которые не лежат в одном направлении.

Эти точки определяют ребра треугольника, а центр описанной окружности этого треугольника находится в поперечном сечении линий биссекции. Расстояние от центра до любой из трех заданных точек – это радиус круга.

Другой способ определить круг через три точки состоит в том, чтобы написать уравнение общей формы круга в канонической (стандартной) форме или в виде точки, чтобы включить координаты данных точек и решить систему. Площадь данного круга с радиусом r равна πr2.

Что такое Сфера?

Пространство можно рассматривать как множество точек, называемых элементами пространства. Шарик – это геометрическое тело, которое является подмножеством пространства.

Это множество точек плоскости, которые находятся на определенном расстоянии (длине) от неподвижной точки О. Точка O является центром сферы, а длина, соединяющая центр с самой дальней точкой сферы, называется радиус.

Диаметр – это линия, соединяющая две самые отдаленные граничные точки (самую длинную прямую линию) сферы и проходящую через ее центр. Круг, образованный пересечением сферы и плоскости, проходящей через центр сферы, называется большим кругом сферы.

Все остальные окружности, образованные пересечением плоскости и сферы, называются малыми кругами сферы. Через каждый набор из трех точек сферы есть только один круг, который принадлежит ей.

Площадь сферы равна 4πr2;
Объем сферы составляет 4 / 3πr3;

Круг – замкнутая изогнутая линия. Каждая точка на этой криволинейной линии находится на том же расстоянии от фокальной точки (в центре) круга. Локус точки, которая находится на фиксированной длине от другой точки, называется кругом.

Фиксированная точка – это центр круга, а длина между этими двумя точками – его радиус. Аналогично, сфера также характеризуется как локус точки, находящейся на постоянном расстоянии от неподвижной точки, однако в трехмерном пространстве.

Простыми словами – круг является круглым объектом в плоскости, а сфера – круглым объектом в пространстве.

Круг, поскольку двумерная фигура имеет только область – πr2, Сфера, с другой стороны, как трехмерная фигура (объект) имеет площадь – 4πr2 и объем – 4 / 3πr3.

Естественно, круг и сфера – это фигуры, которые можно встретить повсюду вокруг нас. Хотя реальный пример круга отсутствует, поскольку в действительности нет объекта нулевой ширины – для его описания можно использовать некоторые объекты, такие как колеса, компакт-диски, монеты. Примеры сферы, может быть, легче найти – теннисные мячи, планеты, апельсины, глобусы и т. Д.

Круг против Сферы

Круг	сфера
круглый объект в плоскости	круглый объект в пространстве
двухмерная (фигура)	трехмерный (объект)
можно вычислить только площадь	расчеты включают в себя как площадь, так и объем

Резюме

Круги и сферы имеют идеальную симметрию вокруг своих центров. Все точки круга и самые дальние точки сферы находятся на фиксированном расстоянии от фокальной точки (в центре). Однако существуют различия, такие как круг двумерный, а сфера – трехмерный объект. Расстояние между точками, которые находятся далеко, называется диаметром (и удваивает радиус).
Круг имеет область, которая может быть вычислена по формуле – πr2, Сфера вместе с областью (рассчитанная по формуле 4πr2) имеет объем, равный 4 / 3πr3.
Реальные примеры жизни круга нельзя найти, поскольку круг существует как двумерное понятие – он получил только длину, высоту и ширину. Однако некоторые объекты могут напоминать круг – куки, пицца, шины … Сфероподобные примеры объектов – софтбол, мрамор, атомы, яблоки и так далее.

Разница между шаром и сферой. Чем шар отличается от сферы

Разница между шаром и сферой

В главе 2 мы продолжим “строительную геометрию” и расскажем о строении и свойствах важнейших пространственных фигур – шара и сферы, цилиндров и конусов, призм и пирамид. Большинство предметов, созданных руками человека, – здания, машины, мебель, посуда и т.д., и т.п., состоит из частей, имеющих форму этих фигур.

§ 4. СФЕРА И ШАР

После прямых и плоскостей сфера и шар – самые простые, но очень важные и богатые разнообразными свойствами пространственные фигуры. О геометрических свойствах шара и его поверхности – сферы – написаны целые книги.

Некоторые из этих свойств были известны еще древнегреческим геометрам, а некоторые найдены совсем недавно, в последние годы.

Эти свойства (вместе с законами естествознания) объясняют, почему, например, форму шара имеют небесные тела и икринки рыб, почему в форме шара делают батискафы и футбольные мячи, почему так распространены в технике шарикоподшипники и т.д. Мы можем доказать лишь самые простые свойства шара.

Доказательства других, хотя и очень важных свойств, часто требуют применения совсем не элементарных методов, хотя формулировки таких свойств могут быть очень простыми: например, среди всех тел, имеющих данную площадь поверхности, наибольший объем у шара.

4.1. Определения сферы и шара

Определяются сфера и шар в пространстве совершенно так же, как окружность и круг на плоскости. Сферой называется фигура, состоящая из всех точек пространства, удаленных от данной

ной точки на одно и то же (положительное) расстояние.

Эта точка называется центром сферы, а расстояние – ее радиусом (рис. 4.1).

Итак, сфера с центром О и радиусом R – это фигура, образованная всеми точками X пространства, для которых

Шаром называется фигура, образованная всеми точками пространства, находящимися на расстоянии не большем данного (положительного) расстояния от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние – его радиусом.

Итак, шар с центром О и радиусом R – это фигура, образованная всеми точками X пространства, для которых

Те точки X шара с центром О и радиусом R, для которых образуют сферу. Говорят, что эта сфера ограничивает данный шар или что она является его поверхностью.

Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.

Шар является телом вращения, так же как конус и цилиндр. Шар получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси.

Площадь поверхности шара можно найти по формулам:

где r – радиус шара, d – диаметр шара.

Объём шара находится по формуле:

V = 4 / 3 πr 3 ,

где r – радиус шара.

Теорема. Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.

Теорема. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку – точку касания.

Прямая, которая проходит через точку А шаровой поверхности перпендикулярно к радиусу, проведённому в эту точку, называется касательной.

Площадь поверхности шарового сегмента можно вычислить по формуле:

Объём шарового сегмента можно найти по формуле:

V = πh 2 (R – 1/3h),

где R – радиус большого круга, h – высота шарового сегмента.

Объем шарового сектора находится по формуле:

V = 2/3 πR 2 H.

Шаровый слой – это часть шара, заключённая между двумя параллельными плоскостями (на рисунке плоскостями ABC и DEF), пересекающими сферическую поверхность. Кривая поверхность шарового слоя называется шаровым поясом (зоной). Круги ABC и DEF – основания шарового пояса. Расстояние NK между основаниями шарового пояса – его высота.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Определение.